Particiones de enteros

¿De cuántas formas podemos sumar enteros sin que importe el orden de tal forma que nos de un número entero que elijamos,? Tomemos de ejemplo el 5:

  • 5
  • 4 + 1
  • 3 + 2
  • 3 + 1 + 1
  • 2 + 2 + 1
  • 2 + 1 + 1 + 1
  • 1 + 1 + 1 + 1 + 1

Como vemos, hay 7 maneras diferentes, entonces P(5)=7.

Si queremos ver qué patrón se forma cuando vemos todas las combinaciones para un número más grande, nos queda algo así:

Patterns in Partitions of Integers

La función de partición fue estudiada por Ramanujan, quien murió en 1920, dejando un manuscrito inconcluso sobre la que actualmente se llama función tau de Ramanujan τ(n).

El cuaderno pertenece a la Biblioteca de la Universidad de Madrás, foto: V. Ganesan

Para calcular el número de particiones se utiliza la fórmula de Hardy-Ramanujan-Rademacher

donde Ak(n) es una suma sobre raíces de la unidad. Hardy y Ramanujan hallaron también una expresión asintótica

Ramanujan encontró ciertos patrones —llamados congruencias— cuando el número de particiones era divisible entre 5, 7 y 11,

p(5n + 4) ≡ 0 (mod 5),

p(7n + 5) ≡ 0 (mod 7),

p(11n + 6) ≡ 0 (mod 11)

que fue posteriormente comprendido por Freeman Dyson en los 40’s.

Hace un par de meses se logró un récord de cómputo de particiones de 1020, me enteré a través del siguiente tweet:

el link que se menciona es un artículo muy recomendable. El resultado es un número de 10 mil millones de dígitos (11,140,086,26).

Ken Ono y colaboradores de la universidad de Emory han descubierto nuevas formas de contarlas que han dejado al descubierto su naturaleza fractal.

Algunas aplicaciones incluyen la comprensión de en cuantas maneras se pueden acomodar partículas y en encriptación.

Por último, sin quieren averiguar más sobre las insólitas contribuciones de Ramanujan, pueden preguntarle a Wolfram|Alpha

theoremsRamanujan

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