El Universo de los grandes números

Este artículo fue escrito originalmente para la revista “Irracionales y complejos”, de la Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas de la Universidad Autónoma de Puebla en el 3er trimestre de 2003. Es posible que algunos detalles estén rebasados porque se reproduce en su forma original.

Pi
En 1596, Ludolph van Ceulen murió después de gastar muchos años de su vida calculando π usando polígonos de 262 lados llegando hasta 35 dígitos, que fueron escritos en el epitafio de su tumba. En el siglo XIX, un excéntrico inglés llamado William Shanks dedicó 20 años de su vida a calcular π hasta 707 cifras decimales, pero en 1945, con ayuda de una calculadora, se encontró un error en la cifra 527. Sin embargo, Shanks no tuvo que soportar este revés porque ya estaba muerto.

En la Biblia, en el Primer Libro de los reyes y en el Segundo Libro de Crónicas, se menciona que π tiene un valor de 3. Pero eso no es lo peor, en la declaración oficial emitida en 1897 en Indiana, E.U., la Asamblea General redactó una ley que establecía que π era igual a 4.
El Capitán Kirk y Mr. Spock, en el episodio de Star Trek “Wolf in the Fold”, expulsan de la nave Enterprise a un entidad maligna, compuesta de energía pura que se alimentaba de miedo, ordenándole a la computadora “calcular el último dígito de π“, mandándola a un ciclo infinito.

Hiroyoki Gotu de 21 años de edad, se convirtió en 1995 en el campeón en memorizar dígitos de π, recitando 42000. El anterior campeón de memoria, Hideaki Tomoyori recitó en 1987, hasta 40,000 cifras en 17 horas y media, incluyendo descansos que sumaron mas de 4 horas. Sobre la técnica que usa para memorizar dijo

“Obviamente, yo no podría manejar como memorizar un número irracional tan grande simplemente de memoria. En su lugar, lo partí en secuencias cortas de sólo diez números a la ves. Y entonces asoció el sonido de cada número con una palabra particular. Con las palabras hechas en oraciones, puedo recordar imágenes particulares. Así, para cada grupo de diez números, pienso primero en una sola palabra clave que me recuerda una imagen y una oracion, y entonces los sonidos en la oración me recuerdan la secuencia  exacta de números”.

Un grupo de investigadores japonesas obtuvieron un récord de cálculo del valor de π hasta 1.2411 billones de cifras, dirigidos por Yasumasa Kanada de la universidad de Tokio, en una supercomputadora Hitachi, en septiembre del año pasado. El nuevo record es más de 6 veces el número de dígitos del anterior, reconocido por los records mundiales Guiness (206,l58 millones de cifras), que Kanada ayudó a calcular en 1999. El equipo tardó 5 años en diseñar el programa que usaron.
Entre 1998 y 1999, 126 computadoras de 18 diferentes países lograron un nuevo record de cálculo de un dígito determinado de π, utilizando un método para calcular el dígito en cuestión sin tener que calcular todos los anteriores, basado en una fórmula hallada con el sorprendente algoritmo PSLQ, resultando que el bit 40 billones es un 0, hecho que debería saber cualquier persona decente. La primera vez que el número de la bestia 666 aparece es en la cifra 2440. La secuencia 0123456789 ocurre comenzando en el dígito 17,387,594,880.

Los primos
Usualmente se buscan números primos del tipo llamado de Mersenne (un monje francés del siglo XVII), que son de la forma 2n-1, donde n debe ser un primo. Sólo se conocen 39 de ellos, el más reciente (con n = 13,466,917) fue hallado, en 1999 por Michael Cameron, un joven de sólo 20 años, como parte del proyecto Gran Búsqueda de Primos Mersenne en internet (GIMPS, que actualmente cuenta con 130,000 voluntarios), usando su PC con un programa escrito por George Woltman, quien trabaja para Entropia Inc., empresa dedicada a la computación distribuida.
Podríamos pensar que esta labor es inútil y sólo una demostración de fuerza bruta, pero los números primos tienen aplicaciones en la criptografía, y su búsqueda es una buena manera de probar el hardware de nuevos prototipos de computadoras; y ustedes saben como funciona el mundo, publicidad para la marca fabricante. Además la Electronic Frontier Foundation ofrece una recompensa de $100,000 a quien encuentre el primer número primo de 10 millones de dígitos. Pero lo más importante es que se requiere de los algoritmos más sofisticados que se conocen. En este caso se usó algo llamado “transformada de base irracional discreta con peso” desarrollada por Richard Crandall, quien patentó el sistema de encriptación elíptica rápida, que pertenece a Apple Computer, y tiene su propia compañia Perfectly Scientific, Inc., que vende un poster con los 4,053,946 dígitos de este número, para que puedan contemplarlo en toda su inmensa gloria. Un timbre postal fue emitido en Urbana, Illinois, celebrando el hallazgo de este primo. Crandall también estuvo involucrado en la demostración de que el número de Fermat 22, Fermat es compuesto, que requirió de 1016 operaciones, aproximadamente las necesarias para producir la película Toy Story. En [4] nos presenta otros interesantes números, por ejemplo, tendríamos que esperar 103,000,000 años para que un perico picoteando al azar un teclado, pudiese reproducir por pura casualidad la obra “El sabueso de lo Baskerville” de Sir Arthur Conan Doyle. Pero nada comparado con los baskerville años que tendrían que pasar antes de que una cerveza encima de una mesa se fuera de lado debido a fluctuaciones cuánticas.

La constante de Champernowne
Es bien conocido que un numero puede representarse como una fracción continua, por ejemplo π puede escribirse como

Picf

La constante de Champernowne [1] se obtiene juntando los números naturales e interpretándolos como dígitos decimales: 01234567891011… Los primeros términos en la fraccion continua de la constante de Champernowne son 0; 8, 9, 1, 149083, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 15, 4575401113910310764836466282429561185996039397104575550006620043930902\
6265925631493795320774712865631386412093755035520946071830899845758014\
69863148833592141783010987, 6, 1, 1, 21, 1, 9, 1, 1, 2, 3, 1, 7, 2, 1, 83, 1, 156, 4, 58, 8, 54, …

El siguiente término de la fracción continua tiene 2504 dígitos. Los coeficientes crecen sin límite, dificultando su cálculo. Términos más grandes que 105 ocurren en las posiciones 5, 19, 41, 102, 163 247, 358, 460, teniendo 6, 166, 2504, 140, 33102, 109, 2468, 136, … dígitos  respectivamente. El cociente parcial 527 de la expansión en fracción continua tiene 411,100 dígitos y el cociente parcial 1709 tiene 4,911,098 dígitos.
Se dice que un número irracional es normal si cualquier patrón finito de números ocurre con la misma fracuencia en la expansión en una base dada. Por ejemplo, para un número decimal normal, cada dígito entre 0 y 9 podría esperarse que ocurra 1/10 de las veces, cada par de digitos 00-99 que ocurra 1/100 de las veces, etc.
Determinar si un número es normal es un problema sin resolver. No se sabe si aún constantes matemáticas fundamentales como π o e, son normales, aunque los primeros 30 millones de dígitos de π están muy uniformemente distribuidos. La constante de Champernowne es normal y además trascendente.

El problema del rebaño de Arquímedes
En el siglo III a.c. Arquímides mandó un problema a Erastótenes y sus colegas en Alejandría. Se trata de un rebaño en el cual hay vacas y toros, que pueden ser blancos, negros, amarillos o moteados. El número de vacas y toros debe cumplir con las siguientes condiciones
rebaño
Las mayúsculas corresponden al número de toros y las minúsculas a las vacas y cada letra se refiere a los colores antes mencionados.
Hasta aquí no parece un problema difícil de resolver, de hecho con estas condiciones el tamaño del rebaño es de 50,389,082 elementos. Pero existen otras condiciones, B + N debe ser el cuadrado de un número y A + M debe ser numero triangular, lo cual equivale a decir que el número debe ser de la forma
triangular
La solucion más pequeña a este problema es un número con 206,545 dígitos (7.76027×10206544), hecho que ya sospechaba Arquímedes, quien se ha de haber carcajeado mientras se imaginaba a sus colegas alejandrinos tratando de resolverlo. En 1880, un matemático alemán llamado A. Amthor encontró cuál debía ser la cantidad de dígitos del número, pero fué hasta 1965 que fué obtenido por Williams et al. Sus cálculos requirieron casi 8 horas de cómputo y 42 hojas de papel para imprimir la solución. En 1981, H. Nelson repitió el cálculo hallando otras 5 soluciones, la más grande de ellas tiene más de un millón de dígitos.
En la obra de Arquímedes “El contador de arena” calcula el número de granos de arena que se nesesitarían para llenar todo el universo visible, algo así como 1063 granos, partiendo de que 10,000 granos de arena acuparian el volumen equivalente a una semilla de amapola. De haber sabido de las particulas elementales, seguramente se habria sentido tentado a calcular el número total de ellas que existen en el universo, que se estima es del orden de 1080.

El grupo monstruo
El problema de la clasificación de los grupos simples finitos [6] condujo a una demostración que es la mas larga en la historia de las matemáticas, requiere de algo así como 15,000 páginas, esparcido en unos 500 artículos. Los componentes fundamentales de todos los grupos son los grupos simples. Un grupo es simple solamente en el sentido de que no puede ser descompuesto en entidades más pequeñas del mismo tipo. Conforme avanzó la investigación, se descubrieron familias infinitas de grupos simples, al final resultó un total de 18 familias, pero también se descubrió un número de grupos muy irregulares que no encajaban en ninguna de las familias. Los primeros descubiertos en 1860 por Émile Mathieu, un siglo después Zvonimir Janko halló otro de 175,560 elementos. En los años sesentas y setentas, sucesivamente se hallaron grupos cada vez más grandes, hasta que en 1982 Robert Griess Jr. halló un grupo cuyo número de elementos es de 808, 017, 424, 794, 512, 875, 459, 904, 961, 710, 757,005, 754, 368,000,000,000, ~ 8 x 1053. E1 grupo fué bautizado como el gigante amigable debido a que exhibe muchas simetrías internas. Admirablemente, la mayoría de estos grupos pudieron estudiarse con cálculos hechos a mano, pero otros grupos hallados por John McKay requirieron de cálculos en computadora. Existe la especulación de que el gigante amigable tiene alguna relación con la teoría unificada de las partículas elementales. Computar propiedades de grupo puede ser muy complicado, por ejemplo. en algo que se llama la representaciones irreducibles del grupo simétrico Sn [7], podríamos computarla llamada longitud de Hook en la representación de escalera de digamos S105, que en total son algo así como 5 x 1080. ¿Cuánto tiempo tomaría calcular tal cosa? si pudiesemos contar 109 de estas representaciones por segundo, necesitariamos ~1071 segundos. La edad del universo es de ~ 1017 segundos. Este es un problema intratable, más allá de la capacidad de cualquier computadora concebible.

El número de Skewes
El número de Skewes (o primer número de Skewes) [8] es el número más grande que ha aparecido en una demostración matemática, y es el número n sobre el cual π(n) < Li(n) debe fallar (asumiendo que la hipótesis de Riemann es verdadera), donde la función π(n) es la función de conteo de primos y Li(n) es la integral logarítmica. La hipótesis de Riemann es el problema sin resolver más importante de las matemáticas, y dice todos los ceros de la función zeta de Riemann están a lo largo de una misma línea en el plano complejo. Uno de los primeros en calcular numéricamente ceros de la función de Riemann fue Alan Turing. En 1912, Littlewood probó que este número existía y fue estimado por su alumno Skewes y resulta ser

Skewes

Para darse una idea de su tamaño [9|, si pudiésemos guardar un dígito diferente de este número en un volumen del orden de la escalera de Planck, en todo el volumen del universo (4.2 x l084 cm3), durante un tiempo equivalente al tiempo de Planck (l0-33 cm y 10-43 s. respectivamente, que son las magnitudes más pequeñas que tienen significado físico) en el tiempo correspondiente a una fase de expansión del universo (si es que sucede) que se ha estimado en unos 8 x 1010 s, esto es del orden de 4.2 x l0140, muy lejos del número de Skewes. El segundo número de Skewes es el número en el cual fallaría la desigualdad a la que nos referíamos, pero en el caso de que la hipotesis de Riemann fuera falsa y es mucho más grande que el número de Skewes.

Bits en el universo
Se estima que todas las operaciones realizadas por todas las computadoras del mundo desde su invención, es del orden del número de Avogado (~ 1023), un instante en la historia de una mol de gas. En el articulo de Seth Lloyd [9], gurú en el área de la computación cuántica, calcula el número de bits disponibles en el universo para computar, 1090 bits y el número de operaciones lógicas elementales que ha realizado el universo en esos bits 10120. Si tomáramos las permutaciones posibles de estos bits, algo así como toda las posibles configuraciones del universo, pero tendríamos que imponerle ciertas constricciones para tomar en cuenta sólo aquellas que son permitidas por las leyes físicas. Tendriamos indudablemente un número muy grande que si rebasaría al número de Skewes, y como hasta donde yo sé nadie le ha puesto nombre, podríamos improvisar el nombre de ” numero de Zeleny”, que quizá amerite una fiesta… o un epitafio. La proxima vez que vean un número escrito a mano en un pizarrón quiza empiecen a experimentar un sentimiento de lástima. Pero quizá no hemos hablado de números grandes, sino que nuestra imaginación es muy pequeña.

Referencias

  1. The Pi pages, http://www.cecm.sfu.ca/~jborwein/pi_cover.html

  2. Extensa información de los cuatro primeros temas puede hallarse en http://mathworld.wolfram.com

  3. http://www.mersenne.org/

  4. Richard E. Crandall, The challenge of large numbers, Scientific American, febrero de 1997.

  5. Keith Devlin, Recreaciones matemáticas por computadora, Ed. Limusa, 1991.

  6. Daniel Gorenstein, “The enormous theorem”, Scientific American, diciembre de 1985.

  7. B. Wybourne, “Combinatorial Explosions in Computing Group Properties”, 1993. http://www.fizyka.umk.pl/~bgw/lect.html

  8. Calvin C. Clawson, Misterios matemáticos, Ed. Diana, 1999.

  9. Isaac Asimov, Opus 100, Alianza Editorial, 1986.

  10. Seth Lloyd, “Computational capacity of the Universe”, arXiv/quant-ph/0110141

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