Sistemas caóticos poco conocidos

 

Algunos sistemas con comportamiento caótico son poco conocidos, los que aparecen típicamente en los libros del tema o en divulgación son el de Lorenz y Rössler. Aquí se muestra una serie ejemplos que he desarrollado (excepto el primero) para Wolfram Demonstrations Project. Varias de ellas las tomé del libro de J. C. Sprott, Elegant Chaos: Algebraically Simple Chaotic Flows (Singapore: World Scientific, 2010) y el de T. Té́l y M. Gruiz, Chaotic Dynamics, An Introduction Based on Classical Mechanics (New York: Cambridge University Press, 2006).

Chaos While Sledding on a Bumpy Slope

La demostración anterior es debida a Robert M. Lurie, un profesor retirado de Harvard, de quien recibí valiosos comentarios. Viene explicado en el libro “The Essence of Chaos”, de Edward N. Lorenz.

Chaotic Dynamics for Ball Bouncing between Two Constant Slopes

En una discusión en MathOverflow, iniciada por Joseph O’Rourke, para mi sorpresa fue comentado por Noam Elkies, Non-chaotic bouncing-ball curves.

Otros ejemplos relacionados con la mecánica clásica son:

Swinging Atwood’s Machine

Pendulums Coupled by a Torsion Spring

Asymmetric Heavy Top

Los siguientes 4 sistemas están relacionados con Lorenz:

Lorenz-Emanuel System

Circulant Ring Systems

Rikitake Model of Geomagnetic Reversal

Lorenz’s Water Wheel

Labyrinth Chaos

Colpitts Oscillator

Sprott’s Jerk Equations (ecuaciones diferenciales de 3er grado)

Tamari attractor (modelo de la economía de un país)

A Collection of Chaotic Attractors (son 32 sistemas)

Cómputo algebraico: 20 años después

calculostesis

Cuando comencé a usar Mathematica, me pareció muy excitante y pensé que en pocos años se adoptaría ampliamente en las aulas y en la investigación; sin embargo, el avance era muy lento al grado que me parecía exasperante, aunque ya eran de amplio uso las pc’s y el internet. Aparecieron muchos libros, pero solamente realizaban cálculos sencillos donde se reproducían cálculos que aparecen en los libros de texto estándar, lejos de explotar su potencial real.  Hubo abundante trabajo en cálculos usando paquetes como Feyncalc que llevó a la publicación de muchos artículos en altas energías, aunque en realidad muchos no programaban: sólo metían una expresión muy complicada de calcular y simplificar y esperaban a ver si en algún momento la máquina terminaba.

Creo que esta situación indudablemente tiene que ver con la disponibilidad del software, la dificultad de hacer programas algebraicos (cuyos algoritmos y paradigmas de programación son muy diferentes a los numéricos) cuando las fuentes de información son casi inexistentes; además de que existía la queja recurrente era que no era fácil de usar, amén de la inercia de la academia que manifiesta incluso una oposición al uso de estos sistemas.

Estuve largo tiempo realizando una tesis de maestría donde usaba cálculos con álgebras de Grassmann en cosmología cuántica; para mi sorpresa, no había libros que me sirvieran de guía para hacerlo ¡ése era mi trabajo! Este trabajo nunca se publicó, pero pienso que sigue valiendo la pena, así que al final del post incluyo una liga para descargarla. En algún momento abandoné el paquete que estaba desarrollando porque implica “casarse” con él y seguir desarrollándolo durante años, ponerle una página, corregir bugs, extenderlo, recibir comentarios de los usuarios, etc. Por otro lado, mis intereses cambiaron hacia los sistemas complejos, ya que, precisamente pensé que el papel de la computación en la ciencia iba a ser mucho más vasto.

Primero tuvieron que desarrollarse una serie de tecnologías: fonts, una forma de representar las expresiones matemáticas basado en “cajas” y un esquema para manipular sistemas de coordenadas que apenas constituye una base seria y real para manipular tensores en general. Con los años, mejor aparecieron los teléfonos inteligentes y la tabletas que ampliaron el alcance de este tipo de cálculos a nuevas audiencias; así como el procesamiento de lenguaje natural (NLP), a través de aplicaciones basadas en Wolfram|Alpha. Sigue pendiente el álgebra no-conmutativa.

Aquí, el trabajo que realicé hace años, y un curso de álgebra computacional moderna, por Victor Adamchik (Carnegie Mellon).